如何通俗地理解相似矩阵
同学们大家好，今天我们来学习相似矩阵。
1 简单印象
设 都是 阶方阵，若有可逆矩阵 ，使得：
则称 为相似变换矩阵（Similarity transformation matrix），称 是 的相似矩阵（Similar matrix），记作：
既然相似，则一定有相同点，相同点是什么呢？它们是同一个线性映射，在不同基下的代数表达。
2 解释
我们知道，线性映射是将一个向量映射到另一个向量，比如这里将 ，映射成 。
2.1 自然基
将 在自然基下的坐标向量用 表示, 在自然基下的坐标向量用 表示。矩阵 就是将坐标向量 ，映射到坐标向量 。
这里坐标向量 ,坐标向量 ,矩阵 就是把 转换为
2.2 非自然基
还是将 映射成 ,现在将这个映射表示在非自然基下。
将 在非自然基下的坐标向量用 表示, 在非自然基下的坐标向量用 表示。矩阵 就是将坐标向量 ，映射到坐标向量 。
这里坐标向量 。矩阵 就是把 转换为
也就是说矩阵 ，矩阵 ，都是将 映射到向量 ，而它们只是不同基下的不同代数表达
2.3 联系
假如我们可以通过某矩阵 ，将坐标向量 变换为坐标向量 ,矩阵 ，将坐标向量 变换为坐标向量
这个时候 和 都是将 映射为 ,因此它们是相等的,即
还有疑问？没关系，下面我们再来看个例子
3 例子
例： 为 中的一组基，求这个基下的旋转矩阵
3.1 思路
先说思路，根据题意，首先画出平面，代表 。然后标注出基
平面内任取一个点,通过矩阵 就能对其进行旋转。
下面，我们把这个过程分为映射前，与映射后。映射前用紫色表示，映射后用金色表示。
假设旋转前的点在基 下的坐标为 ,旋转后的点在基 下的坐标为 ,我们要求解的矩阵 ，就是将坐标向量 ，映射为坐标向量
如何求呢？借助自然基,假设映射前的点在自然基下的坐标为 ,映射后的点在自然基下的坐标为 ,那么利用自然基下的旋转矩阵 ,就能将 映射成
既然自然基可以完成旋转，那么下面只需要将非自然基转到自然基，旋转后，再转回非自然基就可以了,也就是下图中的橘色路径。
下面，我们就尝试把橘色路径表示出来。假设左边箭头的映射我们可以用矩阵 完成,那么右边箭头代表的映射就可以用 表示。
从图中我们可以看到，左边这个箭头是将非自然基下的点映射到自然基下。根据基变换的知识可知，变换所用到的矩阵 ，就是非自然基到自然基的过渡矩阵。而此过渡矩阵就是由非自然基构成的，即:
这样
而 在题目中已经给出了,这样,橘色路径上的所有元素我们就都知道了。思路讲完了，下面开始求解。
3.2 求解
根据题意,可列出等式
将 带入上式可得:
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